Buenos días. Soy Anthony Aveni, profesor de astronomía y antropología, y hoy me gustaría llevarte a un apasionante viaje a través del excitante mundo de los números mayas, las matemáticas mayas. Tú sabes que escribir y numerar son dos destacadas características de la antigua civilización maya, lo que la hace a esta cultura diferente de otras en Mesoamérica, al menos en la manera en que pensamos acerca de ella. Creo que la escritura y la numeración forman parte de las razones por las cuales nos atrevemos a usar la palabra "clásico" para describir a los antiguos mayas, por ello nos atrevemos a compararlos con nuestros apreciados griegos y romanos. No sabemos si la escritura y la numeración aparecieron juntas al mismo tiempo en Mesoamérica, pero creo que realmente ocurrió así. Sabemos que los primeros números aparecieron grabados en piedra desde el siglo seis A.C., pero no eran mayas. Son de hecho del altiplano zapoteca cerca de la ciudad de Oaxaca.
Estos grabados en piedra muestran uno de los ejemplos tempranos, de ninguna manera el primero, pero sí uno de los primeros ejemplos de numeración, y no es maya. En realidad viene del altiplano zapoteca en Oaxaca, lejos de la región maya, y es claro que los mayas debieron importarla, tal como creo que todas las culturas de Mesoamérica lo hicieron. Había sólo un sistema matemático en Mesoamérica con todas las propiedades generales que estoy describiendo. Sin embargo, parece que fueron los Mayas quienes convirtieron a las matemáticas en un arte mayor, es decir, las llevaron hasta el extremo, y debemos estar conscientes de ello.
Gestos y escritura
El contar y el escribir comenzaron como gestos. Si yo contara para ti "uno, dos, tres" con la punta de mis dedos, si no tuviera ningún material con el cual expresar mis números, sería lógico que las puntas de mis dedos se convirtieran en puntos cuando las plasmara en una tablilla de piedra. Si siguiera contando "cuatro y cinco," toda mi mano extendida podría representar de forma abstracta una barra, y de ahí viene la notación de barra y punto del maya antiguo. Los ejemplos que ven en mis primeros dibujos, el número a la derecha--dos barras y tres puntos--sería cinco más cinco más tres, es decir, trece. El número a la izquierda--una barra y cuatro puntos--sería el nueve. Los números mayas adquieren vida por sí mismos. De hecho, los números que ahora les estoy mostrando no son mayas; estos números en particular son de las ruinas de Xochicalco en el Altiplano de México. Cuando digo que los números parecen adquirir vida propia, me refiero a dos fechas que se juntan. Se juntan a través de una cuerda, la cual es sostenida por una mano--la atadura de los años, la atadura de dos fechas diferentes. Inclusive pueden ver la tensión alrededor de la cuerda, como si una de las fechas se torciera bajo la presión.
Los n├║meros vivientes
Cuando los mayas adquirieron una numeración a finales del siglo seis A.C., le dieron vida a sus números. No es muy común que pensemos en los números con vida propia. Por ejemplo, si yo dijera el número "tres," de inmediato me responderías "¿Tres qué?" Usamos los números para describir la cantidad de las cosas--tres granos de cacao o tres magueyes. Sin embargo, a pesar de que los mayas usaban los números para describir cosas, también les daban vida propia, como se puede observar en la piedra grabada, la estela, en las ruinas de Guatemala (Quiriguá, Guatemala). Vean el número quince (el tercero en orden descendente), jalando la fecha, jalando el tiempo con una correa soportada por la cabeza (un mecepal). Es como si "él" cargara en sus hombros con el peso del tiempo. Y el quince tiene su propia personalidad, diferente del número anterior, del superior, que es el número nueve. Así que cada número tiene un dios, y cada número tiene su propia personalidad. Creo que si nosotros, que somos de ascendencia europea, pudiésemos pensar en tiempos pasados, encontraríamos que existió una época en que el siete era de buena suerte y el trece de mala suerte. Todavía hoy hay varios hoteles y varias aerolíneas que no tienen el piso "trece" en el hotel, o el cuarto trece o el asiento trece. Así que, tal vez, los números si tienen vida propia.
Los n├║meros y el tiempo
Sobre todo, los mayas utilizaban los números para describir el tiempo. De hecho, es raro el ejemplo en el mundo maya donde los números no se relacionan con el tiempo. Déjenme mostrarles un ejemplo, pero primero permítanme decirles que hay dos medios diferentes--dos medios primarios--que los mayas utilizaron para expresar sus números. Están grabados en piedra y parecen referirse a la historia dinástica--las proezas de los señores y señoras que gobernaron el mundo maya. También los vemos expresados en libros. Voy a empezar por las inscripciones monumentales--las inscripciones grabadas que vemos en los monumentos. Después, volaremos al reino más elevado de las matemáticas mayas y hablaremos de esos libros, muchos de los cuales no han sido decodificados.
Mi primer ejemplo no es una piedra grabada, es una placa de jade grabada. La escogí porque es sencilla de descifrar y expresa fácilmente lo que realmente quieren decir los números. Hay números colosales que tambalean nuestra imaginación y que nos hacen preguntarnos qué estaban haciendo los mayas. Si has visitado las ruinas de Tikal o Copán o cualquier otro sitio, habrás visto estas piedras grabadas en las plazas abiertas, al frente de las pirámides. Recuerdo la primera vez que las vi en Tikal. Me pareció que se veían más bien como inscripciones de una tumba. Bueno, como las inscripciones en las tumbas, estas piedras marcan las fechas importantes en la vida de las personas a quienes se dedican. Y la placa que les estoy mostrando hace lo mismo. Ahora que ya sabemos como leer los puntos y barras mayas, vean el número que está en la parte superior. Pueden ver la primera línea, un ocho (una barra y tres puntos), seguido de dos barras y cuatro puntos (es decir, catorce), y luego un tres y un uno y luego un doce: ocho, catorce, tres, uno, doce. Si leemos ese número 8-14-3-1-12 en nuestro sistema digital, realmente no tiene sentido. Pero los mayas utilizaban un sistema vigesimal, es decir un sistema con una base de veinte. ¿Pueden adivinar por qué?
Vigesimal contra decimal
El sistema digital viene de los diez dedos en nuestras manos. Por ejemplo, cuando escribo el número 584, yo sé que me refiero a cuatro unidades, 8 decenas y 5 decenas de decenas, aunque conscientemente no estemos pensando en ello. Cuando los mayas escribían 584, para ellos era algo totalmente diferente. Si estaban contando granos de cacao, se referían a 4 unidades, 8 veintenas y 5 veintenas de veintenas en el sistema de base veinte. Como sabemos que la gente del trópico contaba con los dedos de las manos y de los pies, es perfectamente lógico que hubieran desarrollado un sistema vigesimal en vez de decimal. Bueno, estas cuentas de unidades, veintes, cuatrocientos, ocho miles cambian cuando las vez en la placa Leyden porque se refiere al tiempo. Cuando se está expresando el tiempo, la cuenta es como sigue: unos, veintes, treintayseis, veinte veces 360, etcétera. Es decir, el tercer lugar en el orden de la numeración cambia. Creo que los mayas hicieron esto para hacer equivalente el tercer lugar con el número aproximado de días en un año, que es alrededor de 360.
Si piensan que es raro utilizar un sistema de notación diferente cuando se describe el tiempo, nada más vean su reloj de pulsera. En este momento son las diez con 11 minutos, y cuando termine esta hora, es decir 59 minutos después de las diez, el minuto siguiente a las 10:59 no va a ser 10:60, 10:61, sino que serán las 11:00. Cambiamos de unidad después del minuto 59. Creo que hacemos esto por razones que tienen que ver con el calendario babilónico y, de hecho, proviene de las mismas razones que los mayas--para que las unidades de tiempo sean cercanas a los ciclos naturales del tiempo, igual que el día y el año.
Notaci├│n con una base veinte
Leamos el número, 8-14-3-1-12, en notación base veinte, como una unidad de tiempo, y no como conteo de artículos. Tenemos el 12 "kin" hasta abajo. La palabra"kin" es la palabra maya para día, sol y hora, una palabra muy interesante que nos sugiere que llevar el conteo del tiempo era de vital importancia para los mayas. El número siguiente dice 1, es decir 1 veinte, y los veintes son "winals" ("uinals"), que es como son llamados. Podemos pensar en ellos como unidades muy similares a nuestros meses. Nuestros meses tienen treinta días y a veces treinta y uno. El mes mesoamericano, que se celebraba en toda Mesoamérica, no sólo en las tierras mayas, era el "winal," una unidad de 20 días.
Después están los "tuns." Hay tres de estos. Es la tercera referencia, tres unidades de 360 días. "Tun" es la palabra para año. Y arriba de este, 14, 20 x 360. Podemos pensar en estos como una veintena de años [v.g.] "Hace cuatro veintenas y siete años." Esos son los "katuns." Y cada final de un "katun" era una fecha importante, casi paralela al cambio de milenio, cuando los números volvían al cero cada veinte años en este caso. El número hasta arriba, el 8, se refiere al número de "baktuns," y sería las unidades de días 20 x 20 x 360. Si este número no te ha asombrado, déjame traducirlo para ti en nuestro sistema decimal: es el 1,253,912.
N├║meros e historia
¿912 qué? Es el día 1,253,912 desde la creación--es decir, del día en que se supone fue creada la época reciente, entre las muchas épocas cíclicas en las que creían los aztecas, los mayas y otros pueblos mesoamericanos. Es la fecha que comienza el 12 de agosto del año 3113 A.C., el cual es el punto cero que los mayas fijan para la creación actual. Por cierto, el odómetro va a cambiar el 23 de diciembre del 2021, así que si eres un adorador maya más vale que estés preparado. Todos estos días en la "larga cuenta," son los días desde la creación. Y si traducimos esta fecha a nuestra medida del tiempo, utilizando la correlación más aceptada entre los calendarios maya y cristiano, tenemos que ese día es el 15 de septiembre del año 320 D.C. Así que probablemente ese sea el día en que se grabó la placa, o pudiera ser la fecha en que se conmemora algún evento. Noten que en la imagen de la placa de Leyden, la cual está ahora en el museo de Leyden en Holanda, la fecha ocupa literalmente la mitad del espacio del documento. Ocupa todo un lado. Algunas cuentas del tiempo y de los números eran ciertamente muy importantes para los antiguos mayas.
¿Qué hay con las fechas? Volteen al otro lado y vean lo que se conmemora, verán al gobernador. Parece un hombre ataviado con ropa de gala muy pesada. Creo que mojado, él ha de pesar unas 90 libras (unos 45 kilos). Tiene un gran atuendo en el pelo, un adorno colgando de la nariz, y un báculo con el cual está golpeando a una víctima que se ve diminuta, tal vez sea la persona conquistada. Este evento se refiere a la captura, a la derrota de un enemigo por el Señor gobernante. El pequeño hoyo en la parte superior de la pequeña placa de jade--como a esta altura--nos dice que tal vez se usaba alrededor del cuello. Así que me atrevo a pensar en un gobernador orgulloso, celebrando y conmemorando el día de la victoria de una gran batalla.
Como pueden ver en mis ejemplos, yo creo que las matemáticas mayas, grabadas en piedra y en jade, la numeración maya o la forma de contar el tiempo entre los mayas, al menos a través de este medio, se relacionan con la historia percibida por estos gobiernos dinásticos, por su visión de la historia. ¿Por qué fijar la fecha de una captura, o de un matrimonio, nacimiento, muerte en una fecha que se remonta a 3113 A.C.? Tal vez sea porque crees que tu linaje descende de algunos dioses ancestrales, quienes son responsables de que tú estés aquí. Así que esta historia está debidamente registrada en los documentos grabados en la piedra del mundo maya.
Los libros mayas
Cuando nos concentramos en los libros mayas, nos damos una idea de lo que yo llamo la estratosfera del intelecto maya. Es decir, el punto álgido, los cálculos más complicados, las predicciones más precisas, los números más exactos, los números más grandes que verás en tierras mayas. En la siguiente imagen vemos un par de páginas de un facsímil del Códice Madrid, llamado así porque está en la biblioteca de Madrid. ¿Cómo llegó ahí? Sabemos que los primeros inquisidores que llegaron al Nuevo Mundo se horrorizaron con estos libros. Y creo que todavía hoy en día nos impactan sus imágenes excesivamente grotescas de figuras antropomórficas y zoomórficas. Por supuesto que los puntos y barras estaban por toda la página. Así que sabemos que tienen mucho que ver con las matemáticas. El Obispo Diego de Landa, cuando vio estos libros por primera vez, dijo en la "Relación de las cosas de Yucatán," su libro sobre cosas de Yucatán: "Hemos encontrado un gran número de libros entre esta gente, libros que fueron escritos con sus caracteres. Pero como contenían las mentiras del diablo, los quemamos todos, y ellos lloraron." Supongo que si unos extranjeros vinieran aqui y quemaran todas nuestras bibliotecas y discos de computadora en los que guardamos todo nuestro conocimiento, nuestra literatura, nuestra poesía, nuestros registros, también lloraríamos.
Están viendo ahora uno de los cuatro libros que probablemente se sacaron a tiempo del fuego. Es todo lo que queda, toda la evidencia de los registros escritos en libros de los mayas--lo único que se salvó de esa gran conflagración en el año 1555 en Maní, Yucatán, donde Landa y sus compañeros construyeron una gran fogata para destruir los libros. Me imagino a un conquistador enrollándolo, metiéndolo en sus botas y trayéndolo de vuelta a España, vendiéndolo y tal vez ganando dinero con él. No lo sabemos. Pero sabemos que en el siglo XIX, este fragmento de la escritura maya apareció en un montón de basura de un intendente--esta pieza del códice, que es como se llama--y la tarea de descifrarla a penas comenzó en el siglo pasado. El primer paso para descifrar el códice era el reconocimiento de los números y de los ciclos del calendario. Estas eran las partes más fáciles de descifrar. Los glifos eran mucho más difíciles.
Lo que me parece fascinante de este libro, como científico, es que es sobre astronomía, y matemáticas. De hecho, los cuatro libros de los mayas son básicamente libros de matemáticas--son almanaques para mantener un conteo de los ciclos del tiempo. Piensen en esto: si se encontrara un libro después del holocausto en Cincinnati, otro en Seattle, otro en Florida, llegaríamos a la conclusión de que quienes hubieran escrito estos libros, estaban pensando en las matemáticas y en la numeración, y ciertamente ese era el caso.
Venus y las matemáticas
Quiero mostrarles un ejemplo de lo que el gran epigrafista maya, Sir Eric Thompson, llamaba "un producto sutil y mecánicamente bello de la mentalidad maya." Es una página de un almanaque del Códice Dresden (llamado así porque está en la biblioteca de Dresden), el cual describe el movimiento de Venus. Y la razón por la que me asombra cada vez que lo veo, es porque hay una tabla que sigue el movimiento de Venus con toda exactitud de un día a quinieñtos años. Debemos preguntarnos qué llevó a los mayas a medir con tanta precisión y exactitud la observación de los cielos y a las estimaciones con números tan grandes. Porque podríamos utilizar esta tabla inclusive hoy, acompañada de otra tabla con las correcciones adecuadas, para predecir el movimiento de Venus, inclusive este año o el próximo.
Esta página muestra al dios maya de Venus (Quetzalcoatl, como se le llamaba en el México Central; Kukulkan, en el área maya), un dios de nariz larga y con un aro, y que siempre está vestido con vestimentas de serpiente. Lo puedes ver arrojando lanzas a alguna víctima que yace debajo, y cómo la lanza traspasa a la víctima. El dibujo en la parte superior describe de augurio, algún tipo de quema de incienso o alguna ofrenda--tal vez un ofrecimiento de sangre adecuado para esta deidad.
Los Anales de Cuauhtitlán, un libro del altiplano mexicano que se escribió en la época de la Conquista, nos dice que este era su dios, este Quetzalcoatl, como lo llamaban. Y decían que este dios, la deidad de la serpiente emplumada, murió y se fue al bajo mundo. Y estuvo ahí por ocho días. Y no fue sino hasta pasados esos ocho días que resucitó y fue llevado al cielo en la forma de estrella de la mañana, como un dios resucitado. Aquellos de nosotros que pensamos que la cristiandad tiene la patente de cualquier tipo de resurrección, debemos pensarlo dos veces, porque los mayas tienen su propio concepto de resurrección. Tal vez la hayan escuchado de otra manera sobre el vagabundear de Quetzalcoatl, quien se fue y luego fue exiliado y luego regresó. Es el mismo mito del regreso, la partida y la llegada, de forma muy similar al regreso de Venus. Es una metáfora celestial maravillosa para ese rey vagabundo, porque Venus es el único planeta en el cielo, a excepción de Mercurio, que siempre está cerca del Sol.
La aparici├│n de Heliaco
Tal vez alguno de nosotros esté acostumbrado a pensar que estos libros esotéricos tienen poco que ver con la realidad, pero quiero mostrarles, en conexión con Venus, lo que realmente sucede en el cielo. Y quiero enseñarles que también se hace referencia a esto, a través de fotografías, en documentos específicos. El dibujo muestra tres escenas. La escena de la izquierda, tomada un poco antes del amanecer, muestra una estrella brillante cerca del horizonte. Pues bien, esa estrella es el planeta Venus; está haciendo su primera aparición, lo que los astrónomos llaman "la aparición de Heliaco" (Helios es la palabra griega para Sol), su aparición relativa al sol, después de que ha estado ausente durante varios días, y así se ve como resultado de su proximidad con el sol. Ahí se ve haciendo su primera aparición. En ese mismo día hace su aparición, llega a un cielo donde no había estado.
En la segunda escena, tomada algunos días después, Venus está más arriba en el cielo, visible durante un poco más de tiempo antes de la salida del sol. Y en la tercera toma, Venus está todavía a mayor altura. La clave es la primera escena. Ese es el evento--el momento pivote--cuando el fenómeno del regreso después de la muerte de Kukulkan (Quetzalcoatl) se observa en el cielo. Y por eso se mantiene un registro de él en este documento en particular, en el Códice Dresden. Pero, ¿cómo lo muestran gráficamente?
Graficando a Venus
Tenían la trayectoria de Venus dividida en intervalos, como se ve escrito en la notación de punto y barra son cuatro subintervalos. Está el primer intervalo, el periodo durante el cual Venus es visible en el cielo como la estrella de la mañana. Luego hay un intervalo de desaparición, cuando Venus se pierde por la luz del sol. Y el tercer número se refiere a la aparición de la estrella de la noche. Y, finalmente, hay una desaparición final antes de que Venus regrese. Así que Venus tiene un movimiento de cuatro ciclos en el cielo.
Intentemos leer estos números ahora que sabemos lo que son los puntos y las barras. El número a la izquierda marcado como "A1" es un 12; bueno, de hecho es un 11--dos barras y un punto. Luego tres barras y un punto; todo junto sería 11, 16, y lo traduciríamos como 16 unidades y 11 veintes, 236 en nuestro idioma. El siguiente número, 4, 10 sería 90; luego 12, 10 que es 250. El último número, sin embargo, es realmente interesante por dos razones: 0, 8. Ocho es el número de días que Kukulkan [Quetzalcoatl] estuvo muerto en el inframundo. Esta ese número, el número importante que precede al dibujo, ese octavo día de ausencia antes de que Venus regrese al cielo de la mañana. La otra razón por la cual es importante es porque tiene un cero, y quisiera mostrarles el cero maya.
El n├║mero cero
Los mayas son los únicos en el Nuevo Mundo que utilizan el cero. Y, por supuesto, cuando tienes un sistema numérico con el cero, el cero te permite hacer cálculos matemáticos sofisticados. Si no me creen, intenten hacer lo que los romanos tendrían que haber hecho en tiempos contemporáneos, sumen y resten y multipliquen utilizando los número romanos--sin ningún cero, es muy difícil.
El cero entre los mayas parece una concha marina. De hecho representa un puño cerrado. ¿Recuerdan el origen de la numeración en las señas? El puño cerrado significa que está completo, y ¿qué haces cuando completas una de las series de números? Muestras con tu mano que ya está completa. Y si volteo mi puño hacia un lado, ¿acaso no parece una concha marina estilizada? De ahí es de de donde realmente proviene el símbolo de la concha para el cero.
A veces los mayas son muy ingeniosos en los códices. Inclusive en una de las páginas de la tabla de Dresden (que no se muestra aquí), el cero está representado por un pequeño caracol, con su cabecita y sus antenitas saliendo de la concha. Así que podríamos decir que los mayas estaban, como sugerí hace un momento, dando vida a sus números.
El n├║mero 584
Si suman estos cuatro intervalos y sí lo haces en notación maya, obtienen el 584. Este es el tiempo que le toma a Venus completar un ciclo completo con todas sus fases--es decir, de estrella de la mañana a estrella de la noche a estrella de la mañana--584 días, un periodo que también es reconocido como tal por los astrónomos modernos. Lo que es interesante del 584--y creo que es la razón por la cual los mayas se fijaron en Venus--es que coincide con nuestro año calendario de 365 días. Armoniza con el 365 en una proporción perfecta de 8 a 5--es decir, 584 es a 365 como 8 a 5. Suena muy pitagórico, ¿no?
Y esto quiere decir que, en efecto, el movimiento, las fases y las apariciones de la gran estrella, el dios resucitado de la creatividad, son perfectamente cíclicas en concordancia con el año calendario. Por ejemplo, si la salida heliaca de Venus se diera el 1º de enero del 2002, podríamos estar seguros de que ocurriría en otro 1º de enero en el año 2010, con una corrección menor--en otras palabras, exactamente ocho años después.
Astrología
La clave del calendario maya era que fusionaba estos ciclos de los objetos en el cielo con los ciclos agrícolas, de la fecundidad, nacimiento, muerte y otros. Era una preocupación real, muy real, no algo abstracto o una creencia esotérica perseguida por un grupo elitista aislado. Si leemos los glifos entre los dibujos, nos dicen algo muy diferente de los sofisticados cálculos matemáticos. Esta inscripción, por ejemplo, dice "Esto que se ve en el este, la gran estrella de Venus, es un infortunio para las mujeres embarazadas, es un infortunio en el segundo ciclo de cosecha del maíz." Esto es impactante porque significa que estas predicciones son, a final de cuentas, astrología--la astrología que relegamos a las páginas finales de nuestro periódico.
Para los mayas, era muy importante ojear el futuro, a través de las fisuras del tiempo, saber lo que iba a suceder en los cielos. No necesariamente conocer los hechos fatalistas que iban a caer sobre ellos, sino conocer lo que iba a suceder para saber como enfrentarlo, de forma que pudieran encontrar la manera de influenciar a los dioses para evitarlo algo. Así que no veo a los mayas como a un pueblo pesimista, fatalista, que está esperando a que caiga un rayo de la nube de la desolación que yace sobre sus cabezas. Esta no es la imagen que yo tengo, de ninguna manera.
Conclusi├│n
¿Qué podemos concluir de esta fascinación maya por los números, de esta obsesión por el tiempo? Por un lado, como científico, me atrae. Siento que los mayas son como yo porque le hablaban al universo a través de la lengua franca de la ciencia--es decir, las matemáticas. Realmente pensaban que el universo les estaba hablando en términos matemáticos, y eso es algo que nosotros tenemos por herencia de los griegos, a través del Renacimeinto, y que los mayas comparten con nosotros, así que se parecen a nosotros. Creo que esa es la razón por la que los admiro.
Por otro lado, me sorprendo de sobremanera, cuando leo sus profecías. Casi me impresiona pensar que hayan desarrollado un proceso intelectual tan sofisticado--estas matemáticas avanzadas--por motivos religiosos. Y eso me lleva a pensar dos veces lo que soy. De hecho, estudiar las matemáticas mayas es como poner un espejo frente a mí para ver quien soy--¿Por qué hago lo que estoy haciendo? ¿Por qué mi cultura es de esta forma? Y creo que en los momentos más profundos del pensamiento, nuestra incursión en las matemáticas mayas nos lleva a pensar lo que significa ser humano.
